kombinatorika

Příklad 255

Článek v časopise obsahuje 8 otázek. Na každou otázku je nutné odpovědět "ano", "ne", nebo "nevím". Článek říká, že člověk je lehkověrný, pokud odpoví na více než šest otázek "ano". Kolik existuje způsobů odpovědět tak, aby byl člověk označen za lehkověrného?

Řešení	Ukázat
Odpovíme buď 8 krát "ano" (1 možnost), nebo 7 krát "ano" a jednou "něco jiného". Protože "něco jiného" můžeme odpovědět $2\cdot8$ způsoby, existuje $17$ způsobů, jak být označen za lehkověrného.

Příklad 256

Rychlíkova souprava bude tvořena ze dvou nerozlišitelných zavazadlových vozů, jednoho jídelního vozu, tří nerozlišitelných lůžkových vozů a dvou nerozlišitelných lehátkových vozů. Kolik různých typů souprav lze sestavit, ma-li být první buď zavazadlový vůz, nebo jídelní vůz?

Řešení	Ukázat
$\dfrac{7!}{3!\cdot2!}+\dfrac{7!}{2!\cdot3!\cdot2!}$

Příklad 257

Kolik různých šestičlenných družstev můžeme sestavit ze sedmi chlapců a čtyřech dívek, jestliže v družstvu musí být dvě nebo čtyři dívky?

Řešení	Ukázat
${4\choose2}\cdot{7\choose4}+{4\choose4}\cdot{7\choose2}$

Příklad 258

Máme slovo NEPŘIMĚŘENOST. Kolika různými způsoby můžeme přerovnat písmena v tomto slově, když musíme začínat a končit souhláskou?

Řešení	Ukázat
Slova budou buď začínat i končit stejnou souhláskou (a), nebo dvěma různými souhláskami (b). (a) Jsou dvě dvojice stejných souhlásek. Zbytek můžeme přerovnat libovolně: $2\cdot\dfrac{11!}{2!\cdot2!}$ (b) Vybereme dvojici různých souhlásek ${6\choose2}$ způsoby, vzhledem k záměně pořadí vynásobíme dvěma. Zbytek můžeme přerovnat libovolně: $2\cdot{6\choose2}\cdot\dfrac{11!}{2!}$ Celkem $2\cdot\dfrac{11!}{2!\cdot2!}+2\cdot{6\choose2}\cdot\dfrac{11!}{2!}$

Řešení

Ukázat

Slova budou buď začínat i končit stejnou souhláskou (a), nebo dvěma různými souhláskami (b).
(a) Jsou dvě dvojice stejných souhlásek. Zbytek můžeme přerovnat libovolně:

$2\cdot\dfrac{11!}{2!\cdot2!}$
(b) Vybereme dvojici různých souhlásek

${6\choose2}$ způsoby, vzhledem k záměně pořadí vynásobíme dvěma. Zbytek můžeme přerovnat libovolně:

$2\cdot{6\choose2}\cdot\dfrac{11!}{2!}$
Celkem

$2\cdot\dfrac{11!}{2!\cdot2!}+2\cdot{6\choose2}\cdot\dfrac{11!}{2!}$

Příklad 259

Ze skupiny 6 mužů a 4 žen chceme vybrat 4-členné družstvo v němž bude kapitan a zástupce kapitána. Přitom chceme, aby kapitán a jeho zástupce byli opačného pohlaví. Kolika způsoby můžeme družstvo sestavit?

Řešení	Ukázat
Pokud je kapitán muž, můžeme sestavit ${6\choose1}\cdot{4\choose1}\cdot{8\choose2}$ družstev. Pokud je kapitán žena, můžeme sestavit ${4\choose1}\cdot{6\choose1}\cdot{8\choose2}$ družstev. Celkem $2\cdot{6\choose1}\cdot{4\choose1}\cdot{8\choose2}$ družstev.

Příklad 260

V cukrárně prodávají tři druhy zákusků - větrníky, kremrole a punčové řezy. Kolika způsoby lze koupit 12 zákusků tak, aby se od každého druhu koupily aspoň 2 zákusky a přitom nejvýše tři kremrole?

Řešení	Ukázat
Při nákupu dvou kremrolí máme ${6+2-1\choose6}=7$ možností, při nákupu tří kremrolí máme ${5+2-1\choose5}=6$ možností. Celkem je 13 způsobů, jak nakoupit zákusky.

Příklad 261

Soupravu 9 identických vagónů rozpojíme na dvou místech, čímž vzniknou z původní soupravy 3 části. Kolik možností rozpojení je takových, že aspoň jedna ze 3 částí rozdělení soupravy bude mít právě tři vagóny?

Řešení	Ukázat
Jsou tři způsoby, jak napsat číslo 9 jako součet tří sčítanců, z nichž aspoň jeden je 3. $3+1+5$ -> $3!$ uspořádání $3+2+4$ -> $3!$ uspořádání $3+3+3$ -> 1 možnost Celkem je 13 možností.

Příklad 262

Urči, kolika způsoby je možno ze dvaceti osob vybrat deset, požadujeme-li, aby mezi vybranými nebyli současně pánové Adam a Boris.

Řešení	Ukázat
(a) Ve výběru není ani Adam, ani Boris: ${18\choose10}$ možností (b) Ve výběru je Adam, ale ne Boris: ${18\choose9}$ možností (c) Ve výběru je Boris, ale ne Adam: ${18\choose9}$ možností Celkem ${18\choose10}+{18\choose9}+{18\choose9}$