Geometrie

Příklad 331

Na kružnici je 5 červených, 7 žlutých a 9 zelenýrch bodů. Kolik existuje trojúhelníků, které mají všechny vrcholy
(a) zelené?
(b) každý jiné barvy?

Řešení Ukázat

Příklad 332

V pravidelném dvanáctiúhelníku jsou vrcholy označené \mathsf A_1, \mathsf A_2,... \mathsf A_{12}. Kolik existuje
(a) trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech?
(b) trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech, které nemají společné body s přímkou \mathsf{A_2A_8}?

Řešení Ukázat

Příklad 333

Určete počet všech trojúhelníků, které mají vrcholy ve vrcholech pravidelného šestnáctiúhelníku a které nejsou pravoúhlé.

Řešení Ukázat

Příklad 334

Určete počet všech trojúhelníků, jejichž jeden vrchol leží ve středu pravidelného osmiúhelníku a zbývající vrcholy ve vrcholech tohoto osmiúhelníku.

Řešení Ukázat

Příklad 335

Jaký je počet všech rovnoramenných trojúhelníků, které mají všechny vrcholy ve vrcholech pravidelného sedmiúhelníka?

Řešení Ukázat

Příklad 336

Kolik existuje trojúhelníků, které mají vrcholy totožné s vrcholy pravidelného dvanáctiúhelníku a přitom žádná strana trojúhelníku není totožná se stranou dvanáctiúhelníku? Řešte i obecně.

Řešení Ukázat

Příklad 337

Kolik úhlopříček má pravidelný n-úhelník?

Řešení Ukázat

Příklad 338

V rovině leží 6 různých bodů, z nichž žádné 3 neleží v jedné přímce. Kolik přímek tyto body určují?

Řešení Ukázat

Příklad 339

Deset bodů leží v rovině tak, že žádné 3 neleží na přímce. Kolik trojúhelníků určují?

Řešení Ukázat

Příklad 340

V rovině máme 25 bodů, z nichž žádné 3 nejsou kolineární. Kolik přímek a kolik trojúhelníků těchto 25 bodů určuje?

Řešení Ukázat

Příklad 341

V kolika bodech se protíná 9 přímek, z nichž 4 jsou navzájem rovno běžné a z ostatních pěti žádné dvě nejsou rovnoběžné?

Řešení Ukázat

Příklad 342

Kolik přímek lze proložit 7 body, jestliže
(a)) žádné tři body neleží v přímce?
(b) právě tři body leží v přímce?

Řešení Ukázat

Příklad 343

Kolik přímek určuje 10 bodů v rovině, z nichž
(a) žádné tři neleží v přímce,
(b) právě šest leží na jedné přímce?

Řešení Ukázat

Příklad 344

Kolik kružnic určuje 10 bodů v rovině, z nichž
(a) žádné čtyři neleží na kružnici a žádné tři na přímce,
(b) právě šest leží na jedné přímce a zbývající čtyři neleží na kružnici a žádné tři z těchto čtyř na přímce?

Řešení Ukázat

Příklad 345

Jsou dány dvě rovnoběžky p a q. Na přímce p je 5 různých bodů a na přímce q 4 různé body. Z těchto bodů žádné 4 neleží na kružnici. Kolik kružnic prochází právě třemi z daných bodů?

Řešení Ukázat

Příklad 346

Máme dvě rovnoběžné přímky. Na jedné leží 10 bodů, na druhé 11 bodů.
(a) Kolik určují trojúhelníků?
(b) Kolik určují čtyřúhelníků?

Řešení Ukázat

Příklad 347

Je dáno 12 bodů v rovině, z nichž 5 leží na jedné přímce. Žádné další tři na jedné přímce neleží. Kolik přímek je těmito body určeno?

Řešení Ukázat

Příklad 348

Je dán obdélník \mathsf{ABCD} a na každé jeho straně je 6 bodů. Kolik různých trojúhelniků s vrcholy v daných bodech lze setrojit tak, aby každý vrchol ležel na jiné straně obdelníka?

Řešení Ukázat

Příklad 349

Máme dány dvě mimoběžky. Na jedné je 5 bodů, na druhe 6 bodů. Kolik lze sestrojit čtyřstěnů s vrcholy v daných bodech?

Řešení Ukázat

Příklad 350

Je dána krychle \mathsf{A B C D E F G H}. Na každé hraně zvolíme 8 vnitřních bodů.
(a) Určete počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech
(b) Určete počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech a navíc trojúhelníky leží na povrchu krychle.

Řešení Ukázat

Příklad 351

Je dán konvexní čtyřúhelník \mathsf{ABCD}. Určete počet všech přímek, které jsou určeny vrcholy tohoto čtyřúhelníka.

Řešení Ukázat

Příklad 352

V prostoru je dáno 10 různých bodů, z nichž žádné 3 neleží v jedné přímce a žádné 4 neleží v jedné rovině
(a) Kolik rovin lze jimi určit?
(b) Kolik rovin lze jimi určit, leží-li 4 body v jedné rovině?

Řešení Ukázat

Příklad 353

Kolik existuje různých kvádrů jejichž strany jsou přirozená čísla z množiny \{1\dots10\}? Dva kvádry lišící se otočením považujeme za shodné.

Řešení Ukázat

Příklad 354

Je dán trojúhelník \mathsf{ABC} a na každé jeho straně je dáno m vnitřních bodů. Určete počet
(a) všech trojúhelníků s vrcholy v daných 3m bodech.
(b) všech trojúhelníků s vrcholy v daných 3m bodech, jejichž žádná strana neleží na straně trojúhelníka \mathsf{ABC}.

Řešení Ukázat

Příklad 355

V rovině leží 100 přímek, z nichž žádné dvě nejsou rovnoběžné a žádné tři neprocházejí stejným bodem. V kolika bodech se tyto přímky protínají? Na kolik oblastí dělí tyto přímky rovinu?

Řešení Ukázat

Příklad 356

Kolik existuje trojúhelníků s velikostmi stran z množiny \{n+ 1, n+2,\dots, 2n\}? Kolik jich je rovnoramenných a kolik rovnostranných?

Řešení Ukázat

Napsat komentář