kombinatorika

Příklad 20

Kolika způsoby můžeme natáhnout 5 různých prstenů na 4 prsty jedné ruky? Předpokládáme, že palec je prázdný a pořadí prstenů na prstech není důležité.

Řešení	Ukázat
První prsten můžeme umístit na 4 prsty, to jsou 4 možnosti. Druhý prsten také můžeme umístit čtyřmi způsoby. A každý další taktéž. $n=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4=4^5=1024$

Příklad 21

V loterii se tipují výsledky 8 zápasů: výhra, remíza, prohra. Kolik existuje různých tipů?

Řešení	Ukázat
Na první zápas máme 3 možnosti, na druhý také a na každý další máme stále 3 možnosti. $n=3^8=6561$

Příklad 22

Zámek kufru je ovládaný nastavením tří koleček. Každé kolečko má 12 poloh, polohy jsou označené písmeny A, B, C, $\dots$ L. Kolik nastavení musíme vyzkoušet, abychom kufr určitě otevřeli?

Řešení	Ukázat
První kolečko můžeme nastavit dvanácti způsoby a každé další také. $n=12^3=1728$

Příklad 23

Kolika způsoby můžeme rozmístit 20 různých knih do pěti tašek? Do každé tašky se vejde všech 20 knih.

Řešení	Ukázat
U každé knihy máme pět možností kam ji umístíme. $n=5^{20}=$ strašně moc.

Příklad 24

Otec rozděluje svým osmi dětem 5 různých bonbónů. Kolika způsoby může bonbóny rozdělit?

Řešení	Ukázat
$n=5^8$

Příklad 25

Kolika způsoby můžeme sestavit z patnácti lidí pracovní skupinu? Ve skupině může být 1 až 15 lidí.

Řešení	Ukázat
U každého člověka jsou dvě možnosti. V pracovní skupině buď je, nebo není. $n=2^{15}$

Příklad 26

Máte k dispozici 4 barvy a pás látky o délce 1 m a šířce 10 cm. Máte za úkol obarvit pás látky tak, aby na něm byly různobarevné čtverečky o straně 10 cm, přičemž dva sousední čtverčky nesmí mít stejnou barvu. Kolika způsoby to můžete udělat? (Pás má na jednom konci očko k zavěšení.)

Řešení	Ukázat
Protože má pás očko, poznáme, kde je horní konec. Začneme seshora. První políčko můžeme obervit čtyřmi způsoby. Druhé už jenom třemi způsoby, protože musíme vynechat barvu prvního pole. Každé další pak můžeme obarvit také jen třemi způsoby, protože musíme vynecht barvu předcházejícího pole. Políček je 10. $n=4\cdot3^{9}$

Příklad 27

V restauraci podávají pět druhů nápojů: pivo, kávu, minerálku, rum a slivovici. Kolika způsoby lze v této restauraci vypít patnáct nápojů, jestliže přihlížíme k pořadí, v jakém byly vypity?

Řešení	Ukázat
$n=5^{15}$

Příklad 28

Kolik existuje třípísmenných slov vytvořených z písmen anglické abecedy? Slova nemusí mít skutečný smysl.

Řešení	Ukázat
$n=26^{3}$

Příklad 29

Kolik existuje pětipísmenných slov složených z písmen anglické abecedy, v nichž stejná písmena nesmí sousedit? Slova nemusí mít skutečný smysl.

Řešení	Ukázat
Stejná úvaha jako v příkladu 26. $n=26\cdot25^4$

Příklad 30

Kolik různych patnáctiznakových řetězců se dá vytvořit z písmen $\{w; i; n; d; o\}$ ?

Řešení	Ukázat
$n=5^{15}$

Poznámka:

Ve všech příkladech je $n-$ ciferné číslo posloupnost $n$ cifer, z nichž první není nula.

Příklad 31

Kolik je 2-cifernych čísel neobsahujících číslice $\{9, 8, 7, 6, 5\}$ (číslice se mohou opakovat)?

Řešení	Ukázat
Zůstalo nám 5 cifer, mezi nimi také nula. Na první pozici nula nemůže být, takže máme 4 možnosti. Na druhé pozici může být jakákoliv cifra z těch, co zůstaly. $n=4\cdot5=20$

Příklad 32

Kolik řetězců délky 8 můžeme vytvořit z číslic 0 a 1?

Řešení	Ukázat
$n=2^8=256$

Příklad 33

Kolik pěticiferných čísel existuje?

Řešení	Ukázat
$n=9\cdot10^4$

Příklad 34

Kolik existuje různých devítimístných telefonních čísel?

Řešení	Ukázat
$n=9\cdot10^8$

Příklad 35

Kolik různých čtyřciferných čísel můžeme sestavit z číslic $\{0,\dots,6\}$ ?

Řešení	Ukázat
$n=6\cdot7^3$

Příklad 36

Kolik je
(a) 3-ciferných
(b) 10-ciferných čísel neobsahujících cifru 0?

Řešení	Ukázat
(a) $n=9^3$ , (b) $n=9^{10}$

Příklad 37

Kolik je
(a) 3-ciferných
(b) 5-ciferných čísel takových, že v nich nestojí dvě stejné číslice vedle sebe?

Řešení	Ukázat
(a) $n=9^3$ , (b) $n=9^5$

Příklad 38

Kolik existuje lichých osmiciferných čísel, v jejichž zápise není číslice 8?

Řešení	Ukázat
$n=8\cdot9^6\cdot5$

Příklad 39

Na katedře pracuje 20 lidí, každý má svoji poštovní přihrádku. Sekretářka přinesla $x$ různých časopisů (u každého má dostatečný počt výtisků). Kolik má možností jak uložit časopisy do přihrádek, jestliže zaměstnanec má dostat právě jeden časopis?

Řešení	Ukázat
$x^{20}$

Příklad 40

Tři muži a dvě ženy hledají práci. Ve městě jsou tři firmy, které mají zájem jen o muže, dvě firmy hledající ženy a dvě firmy, které berou i muže i ženy. Všechny firmy mají dostatek volných míst. Kolika způsoby se můžou uchazeči rozdělit do firem?

Řešení	Ukázat
$n=5^3\cdot4^2$

Příklad 41

Kolik existuje různých registračních značek automobilů v Severomoravském kraji? (registrační značka je tvaru "?T? ????", kde "?" jsou číslice).

Řešení	Ukázat
$n=10^6$

Příklad42

V jisté zemi jsou poznávací značky sestaveny ze tří písmen anglické abecedy bez "Q", "W", "X" a "Y" a po nich následují čtyři číslice. Kolik je všech možných poznávacích značek aut?

Řešení	Ukázat
$n=22^3\cdot10^4$

Příklad 43

Na Kypru se poznávací značky na autech skládají z bloku 3 písmen, za kterým následuje čtyřciferné číslo. První část se vybírá pouze ze čtrnácti písmen {A, B, E, H, I, J, K, M, N, P, T, X, Y, Z}.

(a) Kolik existuje takových poznávacích značek?

(b) Kolik značek má každé písmeno jiné?

(d) V kolika značkách je samohláska pouze na 1. a 3. pozici?

Řešení	Ukázat
(a) $n=14^3\cdot9\cdot10^3$ , (b) $n=14\cdot13\cdot12\cdot9\cdot10^3$ , (c) $n=4\cdot14^2\cdot9\cdot10^3$ , (d) $n=4^2\cdot10\cdot9\cdot10^3$

Příklad 183

Osm lidí s řidičskýrmi průkazy jede na výlet. Na výběr mají 5 různých aut a do každého se vejde všech osm lidí. Kolika způsoby mohou obsadit auta?

Řešení	Ukázat
$5^8$

666 příkladů z kombinatoriky

Variace s opakováním