kombinatorika

Příklad 437

Kolik rozdání šesti karet ze standardního balíčku se skládá ze tří párů?

Řešení	Ukázat
Vebereme tři hodnoty ${13\choose3}$ způsoby a ke každé hodnotě vybereme dvě barvy ze čtyř. Celkem ${13\choose3}\cdot\left[{4\choose2}\right]^3$

Příklad 438

Kolik rozdání pěti karet ze standardního balíčku obsahuje jeden pár, ale ne dva páry nebo tři karty stejné hodnoty?

Řešení	Ukázat
Vybereme barvu páru ${13\choose1},$ vybereme barvy pro pár ${4\choose2}$ a ze zbytku vybereme tři karty $48\cdot44\cdot40$ způsoby. Celkem ${13\choose1}\cdot{4\choose2}\cdot48\cdot44\cdot40$

Příklad 439

Kolika způsoby můžeme rozdat pět karet ze standardního balíčku tak, aby byl "full house" (jeden pár a jedna trojka)?

Řešení	Ukázat
Vybereme dvě hodnoty ${13\choose2},$ vybereme tři karty jedné hodnoty a dvě karty druhé hodnoty ${4\choose3}{4\choose2}.$ Kvůli záměně vynásobíme dvěma. Celkem $2\cdot{13\choose2}{4\choose3}{4\choose2}.$

Příklad 440

Vypočítejte počet šestikartových rozdání, která se skládají ze dvou trojic.

Řešení	Ukázat
Podobně jako příklad 437: ${13\choose2}\left[{4\choose2}\right]^2$

Příklad 441

Kolik existuje čtyřkartových rozdání, v nichž
(a) jsou všechny karty různé?
(b) žádné dvě karty nemají stejnou barvu ani stejnou hodnotu?

Řešení	Ukázat
(a) ${52\choose4}$ (b) $13\cdot12\cdot11\cdot10$

Příklad 442

Kolika způsoby můžeme ze tří mariášových karet dostat oko (tj. součet 21)? Číslované karty 7 až 10 se počítají svou hodnotou, spodek a svršek za jedna, král za dva a eso za 11. U karet rozlišujeme jen hodnotu, nikoliv barvu.

Řešení	Ukázat
Jsou možné následující součty" 11+9+1 - dvě možnosti (J<->Q) 11+8+2 - jedna možnost 10+10+1 - dvě možnosti 10+9+2 - jedna možnost 7+7+7 - jedna možnost Celkem 7 možností.

Příklad 443

Na závodech soutěžili čtyři závodníci - Andrej, Boris, Cyril a Dan. Kolik je takových pořadí, v nichž není Andrej první a Cyril je aspoň o dvě místa lepší než Dan?

Řešení	Ukázat
a) Cyril je první. Pak jsou dvě možnosti pro Dana a dvě možnosti pro zbylé dva závodníky, tj. celkem 4 možnosti. b) Cyril je druhý, pak je jen jedna možnost, jak umístit zbylé závodníky. Celkem je 5 možných pořadí.

Příklad 444

Šest hráčů hraje turnaj čtyřher tenisu systémem každá dvojice s každou dvojicí (každý hráč vytvoří dvojici s každým ze zbývajících). Kolik zápasů se odehraje?

Řešení	Ukázat
První dvojice můžeme vybrat ${6\choose2}$ způsoby, drhuhou pak ${4\choose2}$ způsoby. Vzhledem k záměně dvojic vydělíme dvěma. Celkem: $\dfrac12{6\choose2}{4\choose2}$

Příklad 445

Kolika způsoby můžeme napsat číslo $100\,000$ jako součin tří přirozených činitelů, když rozdílné pořadí činitelů považujeme za odlišný součin?

Řešení	Ukázat
Rodělíme 5 dvojek a 5 pětek do tří přihrádek. Pokud některá přihrádka zůstane prázdná, do součinu budeme psát 1. Celkem ${7\choose5}^2$

Příklad 446

Kolika způsoby můžeme sestavit náhrdelník z pěti identických červených perel a dvou identických modrých perel?

Řešení	Ukázat
Jsou 3 možnosti. Mezi modrými není žádná červená, nebo je mezi nimi jedna, nebo dvě.

Příklad 447

Kolika způsoby můžeme umístit 7 černých nerozlišitelných a 2 bílé nerozlišitelné míčky do devíti tašek? Některé tašky mohou zůstat prázdné a předpokládáme, že tašky jsou rozlišitelné.

Řešení	Ukázat
${15\choose7}\cdot{10\choose2}$

Příklad 448

Pošťák má doručit čtyři různé dopisy na čtyři různé adresy. Ovšem popletl to a žádný dopis nedoručil na správnou adresu. Kolika různými způsoby to mohl udělat?

Řešení	Ukázat
Postup stejný jako v příkladu 315. $4!-\left[\dfrac{4!}{1!}-\dfrac{4!}{2!}+\dfrac{4!}{3!}-\dfrac{4!}{4!}\right]=9$

Příklad 449

Mezi devět soutěžících se má rozdělit devět cen: tři stejné televize, tři stejné tablety a tři stejné fotoaparáty. Kolika různými způsoby to lze udělat?

Řešení	Ukázat
${9\choose3}\cdot{6\choose3}$

Příklad 450

V ulici je vedle sebe pět domů. Každý má být natřený jednou ze tří barev (červená, modrá a zelená). Kolika způoby to lze udělat, když žádné dva sousední domy nesmí mít stejnou barvu?

Řešení	Ukázat
$3\cdot2^4$

Příklad 451

Kolik způsoby můžeme na obráku přečíst slovo FURMANU? Číst začínáme nahoře u písmene F a postupujeme dolů vždy jen na sousední písmeno.

Řešení	Ukázat
Na každém řádku, kromě předposledního, máme dvě možnosti, jak pokračovat ve čtení: $2^5$

Příklad 452

Jakub si chce připravit sendvič. Má k dispozici dva druhy chleba, tři druhy sýra a čtyři druhy masa. Sendvič se skládá z jednoho chleba, a dvou různých příloh (tj. dva různé sýry, nebo dvě různá masa, nebo jedno maso a jeden sýr). Kolik různých sendvičů může Jakub připravit?

Řešení	Ukázat
$2\cdot\left[{3\choose2}+{4\choose2}+{3\choose1}\cdot{4\choose1}\right]$

Příklad 453

V kině je v jedné řadě 10 sedadel. Na tato sedala si má sednout 10 lidí. Dva z nich ale nechtějí sedět na žádném ze dvou krajních sedadel. Kolika způsoby se může těchto 10 lidí usadit na sedadla tak, aby všichni byli spokojení?

Řešení	Ukázat
${8\choose2}\cdot2!\cdot8!$

Příklad 454

Do finále sportovního turnaje se probojovali 4 družstva. Každé dvě mají spolu sehrát jeden zápas. Zápasy se konají jeden po druhém, tj. žádné dva neprobíhají současně. Pořadí finálových zápasů se losuje. Kolik je všech možných výsledků losování?

Řešení	Ukázat
4 družstva sehrají systémem "každý s každým jednou" ${4\choose2}=6$ zápasů. Těchto šest zápasů můžeme uspořádat $6!$ způsoby.

Příklad 455

Ze šesti osob A, B, C, D, E, F volíme tříčlenný výbor, který se skládá z předsedy, tajemníka a pokladníka. Kolika způsoby to lze povést, jestliže
a) si neklademe žádné podmínky,
b) A nebo B musí být předsedou,
c) E musí být zvolen,
d) musí být zvoleni A a D?

Řešení	Ukázat
a) $6\cdot5\cdot4=120,$ b) $2\cdot5\cdot4=40,$ c) $3\cdot5\cdot4=60,$ d) $4\cdot3!=24$

Příklad 456

Ze skupiny pěti mužů a šesti žen vybíráme výbor ve složení předseda, tajemník a pokladník. Kolika způsoby můžeme výbor sestavit, když v něm má být aspoň jedna žena a aspoň jeden muž?

Řešení	Ukázat
$\left[{5\choose1}\cdot{6\choose2}+{5\choose2}\cdot{6\choose1}\right]\cdot3!$

666 příkladů z kombinatoriky

Komplexní úlohy III