kombinatorika

Příklad 211

Kolika způsoby můžeme rozdělit 20 stejných míčků mezi 4 děti tak, aby každé dítě dostalo aspoň jeden míček?

Řešení	Ukázat
${19\choose3}$

Příklad 212

Kolika způsoby můžeme rozdělit 25 stejných míčků mezi pět dětí, má-li každé dítě dostat aspoň dva míčky?

Řešení	Ukázat
Příklad převedeme na předchozí případ. Každému dítěti dáme jeden míček. Zůstane jich 20 a ty musíme rozdělit tak, aby každé dítě dostalo aspoň jeden míček, tj. ${19\choose4}$ způsoby. Můžeme postupovat i tak, že příklad převedeme na rozdělování bez podmínky (úplně první typ příkladů). Každému dítěti dáme dva míčky, zůstane jich 15 a ty rozdělíme libovolně. ${5+15-1\choose15}={19\choose15}.$ Výsledky jsou stejné.

Řešení

Ukázat

Příklad převedeme na předchozí případ. Každému dítěti dáme jeden míček. Zůstane jich 20 a ty musíme rozdělit tak, aby každé dítě dostalo aspoň jeden míček, tj.

${19\choose4}$ způsoby.

Můžeme postupovat i tak, že příklad převedeme na rozdělování bez podmínky (úplně první typ příkladů). Každému dítěti dáme dva míčky, zůstane jich 15 a ty rozdělíme libovolně. ${5+15-1\choose15}={19\choose15}.$ Výsledky jsou stejné.

Příklad 213

Kolika způsoby může učitelka rozdělit 25 bonbónů mezi 3 děti tak, aby každé dítě dostalo aspoň 2 bonbóny?

Řešení	Ukázat
Viz předchozí příklad. ${21\choose2}$

Příklad 214

Kolika způsoby můžeme rozdělit 40 dvoukorunových mincí mezi dvě osoby tak, aby každá z nich dostala aspoň 20 korun?

Řešení	Ukázat
Každému z nich dám 20 korun. Zbyde mi 20 mincí a ty rozdělím libovolně. ${2+20-1\choose20}=21$

Příklad 215

Kolika způsoby můžeme rozdělit 8 hrušek, 9 jablek a 10 banánů mezi tři děti tak, že každý musí dostat aspoň jeden kus od každého druhu ovoce?

Řešení	Ukázat
Spočítáme samostatně počty rozdělení hrušek, jablek a banánů. Každé toto rozdělení je nazávislé na ostatních, takže podle pravidla kombinatorického součinu je ${7\choose2}\cdot{8\choose2}\cdot{9\choose2}$

Příklad 216

Třem dívkám chci rozdělit 7 růží a 5 tulipánů. Kolika způsoby to můžu udělat, když rozdám všechny květiny?

Řešení	Ukázat
Viz předchozí příklad. ${3+7-1\choose7}\cdot{3+5-1\choose5}={9\choose7}\cdot{7\choose5}$

Příklad 217

Kolika způsoby si můžou tři děti rozdělit 5 malých a 6 velkých sešitů?

Řešení	Ukázat
${3+5-1\choose5}\cdot{3+6-1\choose6}={7\choose5}\cdot{8\choose6}$

Příklad 218

Kolika způsoby lze rozmístit deset knih do tří poliček, když jsou některé knihy rozlišitelné a některé nerozlišitelné (například čtyřikrát „Ferda Mravenec“, třikrát „Malý princ“, dvakrát „Broučci“ a jednou „Bylo nás pět“)? Nepřihlížíme k pořadí knih v jednotlivých poličkách.

Řešení	Ukázat
${6\choose4}{5\choose3}{4\choose2}{3\choose1}$

Příklad 219

Kolika způsoby lze rozdělit 10 stejných balónků 2 chlapcům a 2 dívkám, má-li každý chlapec dostat aspoň 1 balónek a každá dívka aspoň dva balónky?

Řešení	Ukázat
Každému chlapci dáme jeden balónek a každé dívce dva balónky. Zůstanou nám 4 balónky. Ty můžeme rozdat ${7\choose4}$ způsoby.

Příklad 220

Kolika způsoby můžeme rozdělit 4 červené, 4 bílé a 4 modré míče do 6 různých krabic? Míče jedné barvy jsou nerozlišitelné.

Řešení	Ukázat
$\left[{9\choose4}\right]^3$

Příklad 221

V akvaristice mají v dostatečném množství celkem čtyři druhy akvarijních rybek v ceně 10 Kč za jednu rybku. Rybky stejného druhu považujeme za nerozlišitelné. Kolika způsoby můžete tyto rybky zakoupit,
(a) zaplatíte-li právě 60 Kč,
(b) zaplatíte-li právě 60 Kč a přitom nakupujete rybky po párech.

Řešení	Ukázat
(a) Kupujeme 6 rybek, čtyř různých druhů. Máme tedy ${6+4-1\choose6}={9\choose6}$ možností jak je nakoupit. (b) ${3+4-1\choose3}={6\choose3}$

Příklad 222

Kolika způsoby lze rozdělit 9 dílků čokolády mezi 3 děti, pokud
a) ne každé dítě musí dostat dílek?
b) každé dítě má dostat aspoň jeden dílek?
c) každé dítě má dostat aspoň 2 dílky?

Řešení	Ukázat
(a) ${9+3-1\choose9}={11\choose9}$ (b) ${6+3-1\choose6}={8\choose6}$ (c) ${3+3-1\choose3}={5\choose3}$

Příklad 223

Kolika způsoby můžu rozdělit 8 pomerančů, 9 meruněk a 10 třešní mezi Karla, Standu a Mirka tak aby každý člověk měl alespoň tolik třešní jako pomerančů?

Řešení	Ukázat
Rozdělíme pomeranče ${10\choose8}$ způsoby. Ke každému pomeranči přidáme jednu třešeň. Zůstanou nám 2 třešně a ty rozdělíme ${4\choose2}$ způsoby. Nakonec rozdělíme meruňky ${11\choose9}$ způsoby. Celkový počet zozdělení je ${10\choose8}\cdot{4\choose2}\cdot{11\choose9}$