kombinatorika

Příklad 148

Kolika způsoby můžeme vybrat 3-členný tým ze skupiny 30-ti lidí?

Řešení	Ukázat
${30\choose3}$

Příklad 149

Na poličce je 20 různých knih. Kolika způsoby lze z nich vybrat tři různé knihy?

Řešení	Ukázat
${20\choose3}$

Příklad 150

Ze 12 dětí potřebujeme vybrat 5. Kolik existuje různých výběru?

Řešení	Ukázat
${12\choose5}$

Příklad 151

Kolika způsoby lze vyplnit jednu sázenku ve Sportce, vybíráme-li 6 čísel z čísel 1 až 49?

Řešení	Ukázat
${49\choose6}$

Příklad 152

Je 12 kuliček různých barev. Kolika způsoby můžeme vybrat tři z nich?

Řešení	Ukázat
${12\choose3}$

Příklad 153

Mezi deseti studenty jsou 3 dívky. Kolika způsoby z nich můžeme vybrat 5 tak, aby všichni byli chlapci?

Řešení	Ukázat
${7\choose5}$

Příklad 154

Kolika způsoby můžeme rozdělit 10 lidí na dvě označená družstva po pěti?

Řešení	Ukázat
Vybereme lidi do prvního družstva. To lze ${10\choose5}$ způsoby. Do druhého družstva vybírat nemusíme, tam jde zbytek. Odpověď: ${10\choose5}$

Příklad 155

Kolika způsoby můžeme rozdělit dvanáct lidí do dvou (rozlišitelných) družstev po šesti?

Řešení	Ukázat
${12\choose6}$

Příklad 156

V oddíle je 6 stolních tenistů.
(a) Kolik zápasů ve stolním tenise sehrají, jestliže na turnaji bude hrát každý s každým?
(b) Kolik různých pořadí na prvních třech místech může nastat?

Řešení	Ukázat
(a) Zápas hrají dva, takže potřebujeme vybrat dvojice. To lze ${6\choose2}$ způsoby. (b) $V_3(6)=120$ pořadí.

Příklad 157

Na zámku je pětimístný číselný kód. Na každém místě může být cifra od 0 do 9. Víme, že se v něm žádné číslice neopakují a jsou srovnány od nejmenší po největší. Kolik kódů odpovídá uvedeným vlastnostem?

Řešení	Ukázat
Každou pětici můžeme uspořádat podle velikosti právě jedním způsobem. Takže počet kódů bude roven počtu pětic. ${10\choose5}$

Příklad 158

Kolik existuje různých rozmístění křížků a koleček (pět křížků a čtyři kolečka) do čtvercové mřížky velikosti $3\times3$ ?

Řešení	Ukázat
Vybereme pozice pro kolečka. To je možné ${9\choose4}$ způsoby. Pro křížky vybírat nemusíme, ty jdou na zbylá volná místa.

Příklad 159

Máme 10 karet, z nichž je 6 červených a 4 bílé. Karty dané barvy jsou nerozlišitelné. Karty srovnáme vedle sebe do řady.
(a) Kolika způsoby můžeme takto karty srovnat, když všechny bílé karty jsou pohromadě?
(b) Kolika způsoby můžeme takto karty srovnat, když žádné dvě bílé karty nejsou vedle sebe?

Řešení	Ukázat
(a) Šest červených karet v řadě vytváří 7 pozic (_č_č_č_č_č_č_), na něž můžeme umístit skupinu bílých karet. $n=7$ (b) Ze sedmi pozic musíme vybrat čtyři pozice, na něž umístíme vždy jednu bílou kartu. $n={7\choose4}$

Příklad 160

Je dáno 8 bílých a 4 červené kostky, kostky každé barvy jsou nerozlišitelné. Kolika způsoby můžeme kostky seřadit, když chceme, aby řada byla symetrická podle středu?

Řešení	Ukázat
Kostky si rozdělíme na dvě stejné poloviny (tj. vždy 4 bílé a 2 červené). Nyní vybereme ze šesti možných pozic dvě, na něž umístíme červené kostky. To lze ${6\choose2}$ způsoby. Pozice bílých kostek už jsou jednoznačně dané a stejně tak rozmístění druhé poloviny. $n={6\choose2}$

Příklad 161

Jaký je počet všech pořadí, jak postavit do řady vedle sebe vybranou skupinu tří mužů a dvou žen tak, aby ženy nestály vedle sebe?

Řešení	Ukázat
Stejný postup jako v př. 159(b), ale musíme uvážit rozlišitelnost lidí. $n={4\choose2}\cdot3!\cdot2!$

666 příkladů z kombinatoriky

Kombinace bez opakování 1